发癫 

如何证明任意条件收敛级数都能收敛到1145141919810

一般而言，条件收敛的数列（例如 $\sum \frac{\left(-1\right)^{n+1}}{\sqrt{n}}$ ）大概率不会收敛到 1145141919810，但我们可以通过一些方法来加以证明。

首先我们给出一个条件收敛的级数 $\sum u_{n}$ ：

$$u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}+\cdots$$

然后我们把这个级数对应的数列拆成两个子列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ ，其中子列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中的每一项都大于等于 0，而 $\left\{b_{n}\right\}$ 中的每一项都小于 0.

下面先讨论 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的敛散性：

如果它们都收敛，不妨设 $\sum a_{n}=A$ ，而 $\sum b_{n}=B$ . 则 $\sum \left|u_{n}\right|=A-B$ ，即 $\sum u_{n}$ 绝对收敛，这与 $\sum u_{n}$ 条件收敛矛盾.

如果它们一个发散一个收敛，不妨设 $\sum a_{n}$ 发散， $\sum b_{n}$ 收敛，则在某一个 $N$ 后 $\sum _{1}^{n}b_{n}$ 将被控制在某个极限 $B$ 的 $ε$ 邻域内，而 $\sum _{1}^{n}a_{n}$ 不会被任何 $N$ 控制，故二者加和也不会被任何 $N$ 控制，也就是说 $\sum u_{n}$ 发散，这也与 $\sum u_{n}$ 条件收敛矛盾.

故 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 都发散.

对于两个元素 $t_{1}$ 和 $t_{2}$ ，显然有 $t_{1}+t_{2}=t_{1}+t_{2}=T_{2}$ .

假设对小于等于 $n$ 个元素加法交换律成立，考虑对 $n+1$ 个元素，对任意给定的新排序，先重排前 $n$ 个元素不改变它们的加和，再重排后 $n$ 个元素也不改变它们的加和，就得到了 $n+1$ 个元素的新排列，同时加和也没有改变.

由归纳法，对任何 $n$ 加法交换律都成立.

现在我们考虑对 $\left\{u_{n}\right\}$ 的一种重排，记作 $\left\{k_{n}\right\}$ .

先在 $\left\{k_{n}\right\}$ 中按顺序加入 $\left\{a_{n}\right\}$ 的元素，由于 $\left\{a_{n}\right\}$ 发散，随着 $\left\{a_{n}\right\}$ 的元素的加入， $\left\{k_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和不断增大，一定会超过 1145141919810，在 $\left\{k_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和第一次大于 1145141919810 后，按顺序加入 $\left\{b_{n}\right\}$ 的元素，直到 $\left\{k_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和第一次小于等于 1145141919810.

然后再按顺序加入 $\left\{a_{n}\right\}$ 的元素，直到 $\left\{k_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和第一次大于 1145141919810. 如此往复. 也就是每一次加项后检查 $\left\{k_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若小于等于 1145141919810 则按顺序加入 $\left\{a_{n}\right\}$ 的元素，若大于 1145141919810 则按顺序加入 $\left\{b_{n}\right\}$ 的元素，无限重复上述操作.

由于 $\sum u_{n}$ 条件收敛，由柯西收敛准则的推论有 $\lim_{n\to \infty }u_{n}=0$ . 故在 $n$ 趋于无穷时， $\sum _{1}^{n}u_{n}$ 一定会被控制在 1145141919810 的某个 $ε$ 邻域内，也就是 $\sum u_{n}$ 收敛到了 1145141919810.