2026新一卷T19

19. （17分）

已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且当$x<0$时，$f(x)=2^x$. 对任意$x_0 \in \mathbf{R}$，定义集合$D(x_0)=\{d \in \mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}$.

（1）若当$x \ge 0$时，$f(x)=1-x$，求$D(-1)$；

（2）若$f(x)$是奇函数，$f(x_1) \le f(x_2)$，且$x_1x_2 \neq 0$，证明：$D(x_2) \subseteq D(x_1)$；

（3）设$f(x)$满足：①若$f(x_1) \le f(x_2)$，则$D(x_2) \subseteq D(x_1)$；②当$0<x<1$时，$f(x)<f(0)$.

$\qquad$（i）证明：$f(0) \ge 1$；

$\qquad$（ii）证明：$f(x)$在区间$(0, +\infty)$单调递增.

（1）

$D(-1)=\{d\in \mathbb{R}|f(-1+d)>f(-1)\} \newline$即要考虑函数值大于$x=-1$的自变量的集合，结合函数单调性，$f(x')>f(-1)=\frac{1}{2}$，
可以解得$x\in (-1,\frac{1}{2}),d\in (0,\frac{3}{2})$. 即$D(-1)=(0,\frac{3}{2})$.

（2）

$D(x_1)=\{d\in \mathbb{R}|f(x_1+d)>f(x_1)\},D(x_2)=\{d\in \mathbb{R}|f(x_2+d)>f(x_2)\}.$
由题意得，$f(x)$为分段函数.

$1)x_1<0$时，$x_1 \le x_2 < 0$，此时$D(x_1)=(0,-x_1),D(x_2)=(0,-x_2)$，$-x_1\ge -x_2$，故$D(x_2)\subset D(x_1)$.

$2)x_1>0$时，$x_2>x_1$或 $x_2<0$，此时$D(x_1)=(0,+\infty) \cup (-\infty,-x_1)$.
$x_2>x_1$时，$D(x_2)=(0,+\infty) \cup (-\infty,-x_2)$，$-x_2<-x_1$，$D(x_2)\subset D(x_1)$.
$x_2<0$时，$D(x_2)=(0,-x_2)$，$D(x_2)\subset D(x_1)$.

（3）

（i）假设存在$f(0)<1$，$\forall \varepsilon >0$，一定存在一个足够小的$x_0<0$，使得$0-x_0=\varepsilon$. 若$f(0)<1$，那么有$f(0)<f(x_0)<1$.
由定理①，$D(x_0) \subseteq D(0)$. 构造$x_0'=\frac{x_0}{2}$对应的$d=-\frac{x_0}{2}$. $2^{\frac{x_0}{2}}>2^{x_0}$，所以$d\in D(x_0)$，也就有$d\in D(0)$，$f(d+0)>f(0)$.
而由定理②，$f(d)<f(0),(d>0)$，矛盾，故$f(0)\ge 1$.

至于(ii)，待万恶的期末月结束再说吧.